Lösung partieller Differentialgleichungen durch Irrfahrtsprozesse

Mit Hilfe von Irrfahrtsprozessen wird die Monte-Carlo-Methode zur genäherten Lösung von partiellen Differentialgleichungen realisiert.

Beispiel einer Randwertaufgabe

Es wird die folgende Randwertaufgabe betrachtet:

Hierbei ist G ein einfach zusammenhängendes Gebiet der x,y-Ebene; mit ist der Rand von G bezeichnet. Wie bei den Differenzenmethoden im Abschnitt Differenzenverfahren wird G mit einem quadratischen Gitter überzogen, bei dem ohne Beschränkung der Allgemeinheit die Schrittweite h=1 gewählt werden soll.
Auf diese Weise entstehen innere Gitterpunkte P(x,y) und Randpunkte . Von den Randpunkten , die auch Gitterpunkte sind, wird zunächst zur Vereinfachung angenommen, daß sie tatsächlich auf dem Rand von G liegen, d.h., es soll

gelten (s. Abbildung).

Lösungsprinzip

Man stellt sich vor, daß ein Teilchen von einem inneren Punkt P(x,y) aus zu einer Irrfahrt startet. Das bedeutet:

1. Das Teilchen bewegt sich von P(x,y) aus zufällig zu einem der 4 Nachbarpunkte des Gitters. Jedem dieser 4 Gitterpunkte wird die Wahrscheinlichkeit 1/4 für eine Bewegung zu diesem Punkt zugeordnet.
2. Erreicht das Teilchen einen Randpunkt , dann endet dort die Irrfahrt mit der Wahrscheinlichkeit 1.

Es läßt sich zeigen, daß ein Teilchen nach endlich vielen Schritten von einem inneren Punkt P aus einen Randpunkt R_i erreicht. Mit

p(P,R_i) = p((x,y),R_i) (16.186)

wird die Wahrscheinlichkeit bezeichnet, daß eine Irrfahrt vom Punkt P(x,y) aus in dem Randpunkt R_i endet. Dann gilt

und

p((x,y),R_i) = (16.188)

Diese Gleichung (16.188) stellt eine Differenzengleichung für p((x,y),R_i) dar. Werden n Irrfahrten vom Punkt P(x,y) aus durchgeführt, von denen m_i im Punkt R_i enden , dann gilt

Diese Gleichung (16.189) gibt eine Näherungslösung der Differentialgleichung (16.184a) unter der Bedingung (16.185) an. Die Randbedingung (16.184b) wird dagegen berücksichtigt, indem man

setzt; denn wegen (16.188) gilt .
Zur Berechnung von v(x,y) wird (16.188) mit f(R_i) multipliziert. Nach Summation erhält man die folgende Differenzengleichung für v(x,y):

Werden n Irrfahrten vom inneren Punkt P(x,y) aus durchgeführt, von denen m_j im Randpunkt enden, dann erhält man durch

einen Näherungswert im Punkt P(x,y) des Randwertproblems (16.184a,b).