Fortsetzbarkeit der Lösungen

Neben der Differentialgleichung (17.1), die wir autonom nennen, treten auch Differentialgleichungen auf, deren rechte Seite explizit von der Zeit abhängt und die deshalb nichtautonom heißen:

Dabei sei mit der offenen Menge eine C^r-Abbildung. Durch die neue Variable x_n+1 := t läßt sich (17.11) als autonome Differentialgleichung auf interpretieren. Die Lösung von (17.11) mit Anfang x₀ zur Zeit t₀ wird mit bezeichnet.

Um die globale Existenz der Lösungen und damit die Existenz eines Semiflusses von (17.1) zu zeigen, sind folgende Sätze oft hilfreich.

1. Kriterium von Wintner und Conti:

Ist in (17.1) und existiert eine stetige Funktion , so daß für alle gilt und ist , so läßt sich jede Lösung von (17.1) auf ganz fortsetzen.

Beispiel

Für das Kriterium von WINTNER und CONTI sind folgende Funktionen geeignet: und , wobei C > 0 eine Konstante ist.

2. Fortsetzungsprinzip:

Bleibt eine Lösung von (17.1) für wachsende Zeiten beschränkt, so existiert sie für alle positiven Zeiten und damit auf ganz .

Voraussetzung: Im weiteren wird stets die Existenz eines Flusses bzw. eines Semiflusses von (17.1) vorausgesetzt.