Fluß einer Differentialgleichung

Gegeben sei eine gewöhnliche Differentialgleichung

(17.1)

wobei (Vektorfeld) eine r-mal stetig differenzierbare Abbildung ist und oder eine offene Teilmenge des darstellt. Im weiteren wird im stets die EUKLIDische Norm benutzt, d.h., für beliebiges ist .

Schreibt man die Abbildung f in Komponenten als , so ist (17.1) das System aus den n skalaren Differentialgleichungen .

Die Sätze über die lokal eindeutige Lösbarkeit von PICARD-LINDELÖF und über die r-malige Differenzierbarkeit nach den Anfangsbedingungen (s. [17.5]) garantieren, daß für jedes eine Zahl , eine Kugel aus M und eine Abbildung existieren, so daß gilt:

  1. ist (r+1)-mal stetig differenzierbar bezüglich des ersten Arguments (Zeit) und r-mal stetig differenzierbar bezüglich des zweiten Arguments (Ortsvariable).
  2. ist für jedes fixierte eine lokal eindeutige Lösung von (17.1) auf dem Zeitintervall mit Anfang x zur Zeit , d.h., es gilt für alle , und jede andere Lösung mit Anfang x zur Zeit t=0 stimmt für kleine Zeiten |t| mit überein.

Alle lokalen Lösungen von (17.1) seien eindeutig auf ganz fortsetzbar. Dann gibt es zu jeder Differentialgleichung (17.1) eine Abbildung mit folgenden Eigenschaften:

  1. .
  2. .
  3. ist bezüglich des ersten Arguments (r+1)-mal und bezüglich des zweiten Arguments r-mal stetig differenzierbar.
  4. ist für jedes fixierte eine Lösung von (17.1) auf ganz .
Der zu (17.1) gehörige Cr-glatte Fluß läßt sich dann durch die Beziehung definieren. Die Bewegungen eines Flusses von (17.1) heißen Integralkurven.

In dem folgenden Beispiel wird das LORENZ-System betrachtet.

Beispiel

Das System
(17.2)

heißt LORENZ-System der konvektiven Turbulenz. Dabei sind und b > 0 Parameter. Dem LORENZ-System entspricht ein -Fluß in .