Satz von Liouville

Seien der Fluß von (17.1), eine beliebige beschränkte und meßbare Menge, das n-dimensionale Volumen von D_t (s. Abbildung).

Dann gilt für beliebiges die Beziehung . Für n = 3 lautet der Satz von LIOUVILLE:

Folgerung: Gilt für (17.1) divf(x) < 0 in , so ist der Fluß von (17.1) volumenschrumpfend. Gilt div in , so ist der Fluß von (17.1) volumenerhaltend.

Beispiel A

Für das LORENZ-System (17.2) ist . Wegen und b > 0 ist also . Mit dem Satz von LIOUVILLE folgt für eine beliebige beschränkte und meßbare Menge offenbar . Für die lineare Differentialgleichung lautet die Lösung , so daß für folgt.

Beispiel B

Sei eine offene Teilmenge und eine C²-Funktion. Dann heißt HAMILTONsche Differentialgleichung. Die Funktion H heißt HAMILTON-Funktion des Systems. Bezeichnet f die rechte Seite dieser Differentialgleichung, so gilt offenbar . HAMILTONsche Differentialgleichungen sind also volumenerhaltend.