Hauptsätze

Es sei A(t)=[a_ij(t)]_i,j=1ⁿ eine Matrix-Funktion auf , wobei jede Komponente als stetige Funktion vorausgesetzt wird, und es sei eine stetige Vektorfunktion auf . Dann heißt

inhomogene lineare Differentialgleichung erster Ordnung im und

die zugehörige homogene lineare Differentialgleichung erster Ordnung.

1. Hauptsatz über homogene lineare Differentialgleichungen:

Jede Lösung von (17.13a) existiert auf ganz . Die Gesamtheit aller Lösungen von (17.13b) bildet einen n-dimensionalen Untervektorraum L_H der C¹-glatten Vektorfunktionen über .

2. Hauptsatz über inhomogene lineare Differentialgleichungen:

Die Gesamtheit aller Lösungen L_I von (17.13a) ist ein n-dimensionaler affiner Unterraum der C¹-glatten Vektorfunktionen über in der Form , wobei eine beliebige Lösung von (17.13a) ist.
Seien beliebige Lösungen von (17.13b) und die zugehörige Lösungsmatrix. Dann genügt auf der Matrix-Differentialgleichung , wobei ist. Bilden die Lösungen eine Basis von , so heißt Fundamentalmatrix von (17.13b). Bezüglich einer Lösungsmatrix von (17.13b) ist die WRONSKI-Determinante. Für sie gilt die Formel von LIOUVILLE:

Für eine Lösungsmatrix ist auf oder für alle . Das System ist also genau dann eine Basis von , wenn für ein t (und damit für alle) ist.

3. Satz über die Variation der Konstanten:

Sei eine beliebige Fundamentalmatrix von (17.13b). Dann läßt sich die Lösung von (17.13a) mit Anfang p zur Zeit in der Form

darstellen.