Typen dynamischer Systeme, Orbits

Ein dynamisches System ist ein mathematisches Objekt zur Beschreibung der Zeitentwicklung physikalischer, biologischer und anderer real existierender Systeme. Es wird definiert durch einen Phasenraum , der im weiteren oft der , eine Teilmenge davon oder ein metrischer Raum ist, und eine einparametrige Familie von Abbildungen , wobei der Parameter t (Zeit) aus bzw. (zeitkontinuierlich) oder bzw. (zeitdiskret) ist. Für beliebiges muß dabei

1. und
2. für alle t, s aus der jeweiligen Zeitmenge gelten. Die Abbildung wird kurz als geschrieben.

Im weiteren wird die Zeitmenge mit bezeichnet. Dabei kann oder sein. Ist , so nennt man das dynamische System auch Fluß(Semifluß). Da bei und wegen a) und b) für jedes neben auch die inverse Abbildung existiert, spricht man hier von invertierbaren dynamischen Systemen.

Ist das dynamische System nicht invertierbar, dann versteht man für eine beliebige Menge M und beliebiges t > 0 unter das Urbild von A bezüglich , d.h. die Menge . Ist für jedes die Abbildung stetig bzw. k-mal stetig differenzierbar (dabei sei ), so heißt das dynamische System stetig bzw. C^k-glatt.

Für beliebiges festes definiert die Abbildung eine Bewegung des dynamischen Systems mit Anfang x zur Zeit . Das Bild einer Bewegung mit Anfang x ist der Orbit (oder die Trajektorie) durch , d.h. . Analog wird der positive Semiorbit durch x als und, falls oder ist, der negative Semiorbit durch x als definiert.
Der Orbit heißt Ruhelage, wenn ist, und T-periodisch, wenn ein existiert, so daß für alle und die kleinste positive Zahl mit dieser Eigenschaft ist. Die Zahl T heißt Periode.