Volumenschrumpfende und volumenerhaltende Systeme

Das invertierbare dynamische System auf heißt volumenschrumpfend oder dissipativ bzw. volumenerhaltend oder konservativ, wenn für jede Menge mit einem positiven n-dimensionalen Volumen vol(A) und jedes die Beziehung vol( vol(A) bzw. volvol(A) gilt.

Beispiel A

Sei in (17.3) ein C^r-Diffeomorphismus, d.h., ist invertierbar, offen, und sind C^r-glatte Abbildungen, und sei die JACOBI-Matrix von in . Dann ist das zeitdiskrete System (17.3) dissipativ, falls für alle ist, und konservativ, falls in M ist.

Beispiel B

Für das System (17.6) ist und damit . Also ist (17.6) dissipativ, falls , und konservativ, falls .
Die HÉNON-Abbildung läßt sich aus drei Teilabbildungen zusammensetzen (s. Abbildung): Zunächst wird der Ausgangsbereich (linkes Bild) durch die Abbildung flächenerhaltend gedehnt und gebogen (2. Bild). Dann wird durch in Richtung der x'-Achse bei | b | < 1 kontrahiert (3. Bild) und abschließend durch die Abbildung an der Geraden y'' = x'' gespiegelt (rechtes Bild).