Zeitdiskrete dynamische Systeme

Gegeben sei auf dem metrischen Raum die Differenzengleichung

die auch als Zuordnung geschrieben werden kann. Dabei ist , und ist eine stetige oder r-mal stetig differenzierbare Abbildung, wobei im letzten Fall sei. Ist invertierbar, so definiert (17.3) durch die Festlegung

ein invertierbares zeitdiskretes dynamisches System. Ist nicht invertierbar, so sind die Abbildungen nur für erklärt. Zur Realisierung von siehe Gleichung (5.86) zum Relationenprodukt.

In den folgenden Beispielen werden die logistische Gleichung und die HÉNON-Abbildung betrachtet.

Beispiel A

Die Differenzengleichung </TD></TR></TABLE>

mit einem Parameter heißt logistische Gleichung. Hierbei ist , und ist bei fixiertem die Funktion . Offenbar ist unendlich oft differenzierbar, aber nicht umkehrbar. Also definiert (17.4) kein invertierbares dynamisches System.

Beispiel B

Die Differenzengleichung </TD></TR></TABLE>

mit den Parametern a > 0 und heißt HÉNON-Abbildung (s. auch die Bilder dazu).

Die dieser Gleichung (17.6) entsprechende Abbildung ist durch definiert, unendlich oft differenzierbar und umkehrbar.