Alpha- und Omega-Grenzmenge, absorbierende Menge

Sei ein dynamisches System auf dem emtrischen Raum . Die Menge heißt invariant unter , falls für alle ist, und positiv invariant unter , falls für alle aus ist.
Für jedes ist die -Grenzmenge des Orbits durch x die Menge

Die Elemente von heißen -Grenzpunkte des Orbits. Liegt ein invertierbares dynamisches System vor, so heißt für jedes die Menge

-Grenzmenge des Orbits durch x; die Elemente von heißen -Grenzpunkte des Orbits.
Die lokale Eigenschaft des Volumenschrumpfens führt bei vielen Systemen zur Existenz einer beschränkten Menge im Phasenraum, in die alle Orbits für wachsende Zeiten gelangen und dort verbleiben. Eine beschränkte, offene und zusammenhängende Menge heißt absorbierend bezüglich , falls für alle positiven t aus ist. ( ist die Abschließung von .)

Beispiel

Gegeben sei in der Ebene das Differentialgleichungssystem

Unter Verwendung von Polarkoordinaten läßt sich die Lösung von (17.9a) mit Anfang zur Zeit t = 0 in der Form

schreiben. Aus dieser Lösungsdarstellung folgt, daß der Fluß von (17.9a) einen -periodischen Orbit besitzt, der als dargestellt werden kann. Für die Grenzmengen der Orbits durch p gilt

Jede offene Kugel mit r > 1 ist eine absorbierende Menge für (17.9a).