Strafverfahren

Das Problem

wird durch die Folge unrestringierter Minimumaufgaben

ersetzt. Dabei ist p_k ein positiver Parameter. Für gilt

d.h., das Verlassen des zulässigen Bereiches M wird mit einer Strafe   geahndet. Das Problem (18.105) wird mit einer gegen wachsenden Folge von Strafparametern p_k gelöst. Es gilt

Ist die Lösung des k-ten Strafproblems, dann gilt

und jeder Häufungspunkt der Folge ist eine Lösung von (18.104). Ist ein , so löst das Ausgangsproblem.

Als Realisierungen für sind z.B. geeignet:

= (18.109a)

= (18.109b)

Sind die Funktionen und differenzierbar, so erreicht man im Falle r > 1 auch auf dem Rand von M Differenzierbarkeit der Straffunktion , so daß analytische Hilfsmittel zur Lösung des Hilfsproblems (18.105) herangezogen werden können.
Die Abbildung zeigt eine Veranschaulichung des Strafverfahrens.

Beispiel

.
Die notwendige Optimalitätsbedingung lautet:
.
Der Gradient von H wird hier nur bezüglich gebildet. Durch Subtraktion beider Gleichungen folgt . Die Gleichung besitzt die eindeutige Lösung
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Durch den Grenzübergang ergibt sich als Lösung