Barriereverfahren

Es wird eine Folge von Ersatzproblemen der Form

betrachtet. Der Term verhindert, daß der zulässige Bereich M bei der Lösung von (18.110) verlassen wird, indem die Zielfunktion bei Annäherung an den Rand von M unbeschränkt wächst. Die Regularitätsbedingung

sei erfüllt, d.h., das Innere von M ist nicht leer und der Abschluß von M⁰ ist gleich .
Die Funktion ist auf M⁰ definiert und stetig. Sie wächst auf dem Rand von M nach . Das Ersatzproblem (18.110) wird mit einer gegen Null fallenden Folge von Barriereparametern q_k gelöst. Für die Lösung des k-ten Problems (18.110) gilt

und jeder Häufungspunkt der Folge ist eine Lösung von (18.104).
Die folgende Abbildung zeigt eine Veranschaulichung des Barriereverfahrens.

Als Realisierungen für die Funktion sind z.B. geeignet

= (18.113a)

= (18.113b)

Beispiel

,

Der Gradient von H wird hier nur bezüglich gebildet. Subtraktion beider Gleichungen ergibt ,
,

Die Lösung der Aufgaben (18.105) und (18.110) im k-ten Schritt hängt nicht von den Lösungen der vorangegangenen Schritte ab. Bei der Verwendung großer Straf- bzw. kleiner Barriereparameter treten bei der Lösung von (18.105) und (18.110) mittels numerischer Verfahren häufig Konvergenzprobleme auf, falls keine gute Startnäherung verfügbar ist. Praktisch nutzt man deshalb den Lösungspunkt des k-ten Ersatzproblems als Startwert der Lösung des (k+1)-ten Problems.