Eigenschaften

Der bikubische Interpolationsspline S(x,y) ist durch folgende Eigenschaften eindeutig festgelegt:

1. S(x,y) erfüllt die Interpolationsbedingung
2. Auf jeder Masche R_ij des Rechteckbereiches R ist S(x,y) identisch mit einem bikubischen Polynom, d.h., es gilt die Darstellung

   Damit wird S_ij(x,y) durch 16 Ansatzkoeffizienten repräsentiert, und für die Beschreibung von S(x,y) sind Koeffizienten notwendig.

3. Der Spline S und die Ableitungen

   sind stetig auf R. Damit wird eine gewisse Glattheit der gesuchten Fläche gewährleistet.

4. S(x,y) erfüllt spezielle Randbedingungen:
   

   = (19.242) =

   
   

   Dabei sind p_ij, q_ij und r_ij vorgegebene Zahlenwerte.

Bei der Bestimmung der Ansatzkoeffizienten a_ijkl können die Ergebnisse der eindimensionalen kubischen Spline-Interpolation ganz entscheidend ausgenutzt werden. Es zeigt sich:

1. Es ist eine große Anzahl (2n+m+3) linearer Gleichungssyteme, aber nur mit tridiagonaler Koeffizientenmatrix, zu lösen.
2. Die linearen Gleichungssysteme unterscheiden sich im wesentlichen nur durch ihre rechten Seiten.

Man kann im allgemeinen sagen, bikubische Interpolationssplines sind günstig bzgl. Rechenzeit und Genauigkeit und damit recht gut geeignet für viele praktische Anwendungen. Zur rechentechnischen Realisierung der Koeffizientenbestimmung s. [19.9], [19.32].