Tensorprodukt-Ansätze

Der bikubische Spline-Ansatz (19.240) ist ein Beispiel für einen sogenannten Tensorprodukt-Ansatz, der die Form

hat und vor allem für Approximationen über Rechteckgittern geeignet ist.

Die Funktionen und bilden zwei linear unabhängige Funktionssysteme. Tensorprodukt-Ansätze haben in numerischer Hinsicht den großen Vorteil, daß sich z.B. die Lösung der zweidimensionalen Interpolationsaufgabe (19.239) auf die Lösung von eindimensionalen Aufgaben zurückführen läßt. Darüber hinaus gilt: Die zweidimensionale Interpolationsaufgabe (19.239) ist mit dem Ansatz (19.243) eindeutig lösbar, wenn

1. die eindimensionalen Interpolationsaufgaben mit den Ansatzfunktionen g_i(x) bezüglich der Stützstellen und
2. die eindimensionalen Interpolationsaufgaben mit den Ansatzfunktionen h_j(y) bezüglich der Stützstellen eindeutig lösbar sind.

Ein wichtiger Tensorprodukt-Ansatz ist der mit kubischen B-Splines:

Dabei sind die Funktionen N_i,4(x) und N_j,4(y) normalisierte B-Splines der Ordnung 4. Mit r wird die Anzahl der Knoten bezüglich , mit p die Anzahl der Knoten bezüglich y bezeichnet. Die Knoten sind frei wählbar, aber für die Lösbarkeit der Interpolationsaufgabe müssen gewisse Bedingungen an die Lage der Knoten und die der Stützstellen der Interpolation gestellt werden.

B-Spline-Ansätze führen bei der Lösung von Interpolationsaufgaben auf Gleichungssysteme, deren Koeffizientenmatrizen Bandstruktur haben, also von numerisch günstiger Struktur sind.

Lösungen für verschiedene Interpolationsaufgaben mit Hilfe von bikubischen B-Spline-Ansätzen s. [19.23].