Prinzip der B-B-Kurvendarstellung

Gegeben seien n+1 Eckpunkte mit den Ortsvektoren eines räumlichen Polygons, das in diesem Zusammenhang als Stützpolygon bezeichnet wird. Durch die Vorschrift

wird diesen Punkten eine Raumkurve, die sogenannte B-B-Kurve zugeordnet. Wegen (19.247) kann (19.250) als variable Konvexkombination der gegebenen Punkte aufgefaßt werden. Die Raumkurve (19.250) hat folgende wichtige Eigenschaften:

1. Die Punkte P₀ und P_n werden interpoliert.
2. Die Vektoren und sind Tangenten von in P₀ bzw. .

Den Zusammenhang zwischen Stützpolygon und B-B-Kurve zeigt die folgende Abbildung.

Die B-B-Darstellung wird vor allem für den Entwurf von Kurven eingesetzt, da man durch die Änderung von Polygonecken den Kurvenverlauf auf sehr einfache Weise beeinflussen kann.

Häufig werden an Stelle der BERNSTEINschen Grundpolynome normalisierte B-Splines verwendet. Die zugehörigen Raumkurven heißen dann B-Spline-Kurven. Ihr Verlauf entspricht prinzipiell dem der B-B-Kurven, aber sie haben folgende Vorteile gegenüber diesen:

1. Das Stützpolygon wird besser approximiert.
2. Bei Änderung von Polygoneckpunkten ändert sich die B-Spline-Kurve nur lokal.
3. Neben der lokalen Änderung des Kurvenverlaufs kann auch die Differenzierbarkeit beeinflußt werden. So lassen sich z.B. auch Knicke und Geradenstücke erzeugen.