Prinzip der Tschebyscheff-Approximation

Unter TSCHEBYSCHEFF-Approximation oder gleichmäßiger Approximation versteht man im stetigen Fall die folgende Aufgabe: In einem Intervall ist die Funktion f(x) durch eine Näherungsfunktion so zu approximieren, daß der größte Fehlerbetrag

durch geeignete Wahl der Parameter möglichst klein wird. Existiert für f(x) eine solche Näherungsfunktion, dann wird unter gewissen Voraussetzungen der Maximalwert der Abweichung in mindestens n+2 Punkten des Intervalls, den sogenannten Alternantenpunkten, mit abwechselndem Vorzeichen angenommen (s. Abbildung).
Das ist der wesentliche Inhalt des sogenannten Alternantensatzes zur Charakterisierung der Lösung einer TSCHEBYSCHEFFschen Approximationsaufgabe.

Beispiel

Approximiert man auf dem Intervall [-1,1] die Funktion f(x) = xⁿ durch ein Polynom vom Grade im TSCHEBYSCHEFFschen Sinne, dann erhält man als Fehlerfunktion, wenn auf den Maximalwert 1 normiert wird, das TSCHEBYSCHEFFsche Polynom . Die Alternantenpunkte, die sich aus den Randpunkten und genau n-1 Punkten im Innern des Intervalls zusammensetzen, entsprechen den Extremstellen von T_n(x) (s. die folgende, aus 6 Teilen bestehende Abbildung).