Inverse oder Umkehrfunktionen

Die Funktion y =f(x) mit dem Definitionsbereich D und dem Wertebereich W ordnet jedem eindeutig ein zu. Kann umgekehrt auch jedem eindeutig ein zugeordnet werden, so entsteht die Umkehrfunktion oder inverse Funktion von . Sie wird mit oder auch f^-1 bezeichnet. Das Zeichen f^-1 stellt in diesem Falle ein Funktionssymbol dar, keine Potenz.

Um von einer Funktion y =f(x) zur Umkehrfunktion zu gelangen, werden x und y vertauscht, und die Gleichung x =f(y) wird nach y aufgelöst, so daß sich ergibt. Die Darstellungen y =f(x) und sind äquivalent. Daraus folgen die beiden wichtigen Formeln

Beispiel

Die Funktion ist äquivalent mit . Es gilt .
Das Kurvenbild der inversen Funktion entsteht durch Spiegelung der Kurve von y=f(x) an der Geraden (s. Abbildungen in den folgenden Beispielen).

Beispiele für Umkehrfunktionen:

Beispiel A

y =f(x) =x² mit
mit

Beispiel B

y=f(x)=e^x mit
mit

Beispiel C

mit
mit

Hinweise:

1. Ist eine Funktion f in einem Intervall streng monoton, dann existiert für dieses Intervall die Umkehrfunktion .
2. Läßt sich eine nichtmonotone Funktion in streng monotone Teilstücke zerlegen, dann existieren für diese Teilstücke die jeweiligen Umkehrfunktionen.