Bernoulli-l'Hospitalsche Regel

Treten unbestimmte Ausdrücke der Form auf, dann wird die BERNOULLI-L'HOSPITALsche Regel verwendet, die oft kurz L'HOSPITALsche Regel genannt wird.

Fall a) Unbestimmte Ausdrücke der Form oder :

Wenn für folgendes gilt:

1. und (unbestimmter Ausdruck oder
   und (unbestimmter Ausdruck ,
2. die Funktionen und sind in einem Intervall, das den Punkt a enthält, definiert (im Punkt a selbst brauchen diese Funktionen nicht definiert zu sein) und differenzierbar mit .

Dann gilt

falls dieser Grenzwert existiert (Regel von BERNOULLI-L'HOSPITAL).
Sollte der Ausdruck wieder einen unbestimmten Ausdruck der Form oder ergeben, dann wird das Verfahren wiederholt.

Beispiel

Fall b) Unbestimmte Ausdrücke der Form :

Wenn unter ähnlichen Bedingungen wie im Falle oder gilt und sowie , dann wird der Grenzwert auf die Form oder gebracht, so daß die Berechnung des Grenzwertes auf den Fall oder zurückgeführt ist.

Beispiel

Fall c) Unbestimmte Ausdrücke der Form :

Wenn unter ähnlichen Bedingungen wie im Falle oder gilt und sowie , dann wird zur Berechnung des Grenzwertes die Differenz auf die Form oder gebracht, was auf verschiedene Weise erreicht werden kann, z.B. ist

Beispiel

.
Zweimalige Anwendung der L'HOSPITALschen Regel führt auf

Fall d) Unbestimmte Ausdrücke der Form :

Wenn gilt mit sowie , dann wird zunächst der Grenzwert A des Ausdrucks berechnet, der die Form hat, und dann
Analog wird in den Fällen und verfahren.

Beispiel

d.h., ,
also und somit