Kurve 3. Ordnung, Typ II

Die Funktion

beschreibt eine Kurve 3. Ordnung, die symmetrisch zu der vertikalen Geraden bei verläuft und die die x-Achse zur Asymptote hat.

Ihr Verhalten hängt von den Vorzeichen von a und ab. Von den zwei Fällen a > 0 und a < 0 wird hier nur der erste betrachtet, da der zweite durch Spiegelung von an der x-Achse erhalten werden kann.

a) Fall

Die Funktion ist für beliebiges x positiv und stetig und wächst von 0 bis zum Maximum, um dann wieder gegen 0 zu fallen. Das Maximum A liegt bei die Wendepunkte B und C liegen bei die zugehörigen Tangentensteigungen (Richtungskoeffizienten) berechnen sich zu

b) Fall

Die Funktion ist für beliebiges x positiv, wächst von 0 bis , besitzt bei eine Unstetigkeitsstelle mit und nimmt von hier wieder auf 0 ab.

c) Fall

Die Funktion wächst von 0 bis , springt an der Unstetigkeitsstelle auf , um von hier über ein Maximum wieder nach zu verlaufen, von wo es einen zweiten Sprung nach gibt, auf den schließlich ein Abfall gegen 0 folgt. Das Maximum A liegt bei ; die Unstetigkeitsstellen liegen bei .