Kurve 3. Ordnung, Typ III

Die Funktion

beschreibt eine Kurve 3. Ordnung durch den Koordinatenursprung mit der x-Achse als Asymptote.

Der Verlauf der Funktion hängt von den Vorzeichen von a und von sowie von den Vorzeichen der Wurzeln und der Gleichung ax²+bx+c =0 ab, wenn ist, vom Vorzeichen von wenn ist. Von den zwei Fällen a > 0 und a < 0 wird hier nur der erste betrachtet, da sich der zweite durch Spiegelung der Kurve für an der x-Achse ergibt.

a) Fall

Die Funktion verläuft stetig, nimmt von 0 bis zum Minimum ab, steigt dann bis zum Maximum an, um danach wieder auf 0 abzufallen.
Die Extremwerte A und B liegen bei es gibt drei Wendepunkte.

b) Fall

Der Verlauf hängt vom Vorzeichen von b ab:

• Die Funktion nimmt von 0 bis ab, hat eine Unstetigkeitsstelle, nach der sie von bis zum Maximum anwächst, um danach gegen 0 zu streben.
  

  

  Das Maximum A liegt bei .

• Die Funktion fällt von 0 bis zum Minimum ab, durchläuft danach den Koordinatenursprung, steigt dann von 0 bis , hat eine Unstetigkeitsstelle und fällt dann wieder von auf 0 ab.
  

  

  Das Minimum A liegt bei .
  Die Unstetigkeitsstellen liegen in beiden Fällen bei beide Kurven besitzen je einen Wendepunkt.

c) Fall

Die Funktion besitzt zwei Unstetigkeitsstellen und zwar bei und ihr Verlauf hängt von den Vorzeichen von und ab.

• Die Vorzeichen von und sind verschieden: Die Funktion nimmt von 0 bis ab, springt auf , nimmt wieder von bis ab, wobei sie durch den Koordinatenursprung verläuft, erfährt einen zweiten Sprung nach , von wo sie gegen 0 abfällt. Extremwerte treten nicht auf.
  

  

• Die Vorzeichen von und sind beide negativ: Die Funktion nimmt von 0 bis ab, springt auf , läuft von hier über ein Minimum wieder bis auf , springt abermals auf , steigt dann bis zum Maximum an, um danach asymptotisch gegen 0 abzufallen.
  

  

  Die Extremwerte A und B werden nach den gleichen Formeln wie im Fall berechnet.

• Die Vorzeichen von und sind beide positiv: Die Funktion nimmt von 0 bis zum Minimum ab, wächst dann auf an, springt auf , durchläuft ein Maximum, um wieder zu erreichen, springt auf und verläuft von hier gegen .
  

  

  Die Extremwerte A und B werden nach den gleichen Formeln wie im Fall berechnet.

In allen drei Fällen besitzt die Kurve einen Wendepunkt.