Postulate für den Meßprozeß

Sei eine Observable mit Spektralzerlegung . 1 Eine Messung von an einem Quantenobjekt, das sich im Zustand befindet, wird in der Quantenmechanik wie folgt beschrieben:

  1. Mögliche Meßergebnisse: Das Ergebnis einer Messung von ist einer der Eigenwerte von .
  2. Wahrscheinlichkeitsverteilung: Die Wahrscheinlichkeit, das Meßergebnis zu erhalten, beträgt
    (21.54)


    wobei den Projektor auf den zu gehörigen Eigenraum von bezeichnet.
  3. Zustandsreduktion: Nach einer Messung mit Ergebnis befindet sich das System im Zustand
    (21.55)


Beispiel A: Wahrscheinlichkeit eines Meßergebnisses und Zustandsreduktion nach der Messung

Ein Quantensystem mit Spin 1 befinde sich bezüglich der Messung der -Komponente des Spins mit den möglichen Meßwerten , und und den dazugehörigen Zustandsvektoren , bzw. in dem Zustand

(21.56)


Eine Messung der -Komponente des Spins liefere das Messergebnis Spin nach unten . Der Projektor auf den dazugehörigen Eigenzustand lautet

(21.57)


Die Wahrscheinlichkeit, daß dieses Meßergebnis auftritt, ist laut Postulat 2 durch

(21.58)


gegeben. Der Zustand nach der Messung, , wird durch Postulat 3 wie folgt berechnet:

(21.59)


Nach der Messung befindet sich das Quantensystem im Zustand , dem (reinen) Eigenzustand zum gemessenen Meßwert .
Beispiel B: Meßprozeß bei reinen Zuständen

Ein Quantensystem mit diskreten Energieniveaus befinde sich in einem reinen Zustand mit dem allgemeinen Zustandsvektor

(21.60)


wobei die Vektoren ein orthonormales System aus Eigenvektoren des HAMILTON-Operators (Energieoperators) zu den jeweiligen Eigenwerten bilden. Bezüglich dieser Basis nimmt der Energieoperator eine Diagonalform mit an. Die Wahrscheinlichkeit , Energie zu messen beträgt:

(21.61)


Die Koeffizienten nennt man daher auch Wahrscheinlichkeitsamplituden, und deren Betragsquadrat Übergangswahrscheinlichkeiten .

Nach erfolgter Messung mit dem Meßergebnis befindet sich das System weiterhin in einem reinen Zustand, jedoch mit dem Zustandsvektor .
Anmerkungen:

1 Zur Verallgemeinerung des Meßprozeßes auf Observable mit kontinuierlichem Spektrum s. z.B. [23.2].