Folgerungen aus den Postulaten

1. Wiederholte Messung: Die Zustandsreduktion gemäß Postulat 3 stellt sicher, daß zwei unmittelbar aufeinanderfolgende Messungen derselben Observablen stets dasselbe Meßergebnis liefern, also

   
   

2. Erwartungswert und Standardabweichung : Aus Postulat 1 und 2 ergeben sich Erwartungswert und Standardabweichung einer Messung von aus

   
   

3. Eigenzustände: Die Messung von im Zustand liefert genau dann mit Sicherheit (also ) das Ergebnis , falls

   
   

   In diesem Fall heißt Eigenzustand von zum Eigenwert . Insbesondere ist der reduzierte Zustand stets ein Eigenzustand zum gemessenen Eigenwert (vgl. Folgerung 1).
4. Unschärferelation: Seien und zwei Observable und , wobei den Kommutator von und bezeichnet. Für das Produkt der Standardabweichungen von und gilt:

   
   

Beispiel A: Statistik der Spinmessung

Eine Messung der Spinkomponente eines Spin-1/2-Teilchens ergebe den Meßwert . Das Teilchen befindet sich deshalb nach der Messung im Zustand (Postulat 3). Eine wiederholte Messung der -Komponente liefert gemäß Folgerung 1 denselben Meßwert mit der Wahrscheinlichkeit 1 und der Standardabweichung 0 und ist somit scharf. Darauf folgt eine Messung der Spinkomponente in -Richtung mit der dazugehörigen Observablen . In Matrixdarstellung bezüglich der -Basis haben diese Objekte die Form

Damit ergeben sich Erwartungwert und Standardabweichung der -Messung wie folgt:

Die Messung der -Komponente des Spins ist also nicht scharf.

Beispiel B: Orts-Impuls-Unschärfe

Der Kommutator der Orts- und Impulsobservablen eines Teilchens im eindimensionalen Ortsraum (siehe Beispiel Ort und Impuls) lautet:

Die nach W. HEISENBERG benannte Unschärferelation berechnet sich damit gemäß Folgerung 4 zu: