Korrelationen und Verschränkung

Betrachtet werden die Observablen der Form , d.h. eine gleichzeitige Messung von am einen und am anderen System. Genau dann, wenn die Messergebnisse voneinander unabhängig sind, d.h. wenn für alle Observablen auf und auf gilt, ist ein Produktzustand der Form und heißt unkorreliert. Für Zustände , die keine Produktzustände sind, unterscheidet man die folgenden zwei Fälle:

1. ist eine konvexe Summe von Produktzuständen, d.h.:

   
   

   wobei , und und Zustände auf und sind. Der Zustand heißt dann separabler oder klassisch korrelierter Zustand.
2. andernfalls heißt verschränkt.

Im allgemeinen weisen verschränkte Zustände ein höheres Maß an Korrelationen auf als separable, was durch folgendes Beispiel veranschaulicht werden soll.

Beispiel Korrelationen zwischen zwei zweidimensionalen Hilbert-Räumen

Seien und zwei zweidimensionale HILBERT-Räume mit Basis und . Mit der Kurzschreibweise usw. werden in beiden HILBERT-Räumen die Zustände und definiert. Betrachtet werden die Observablen und . Eine Messung von bzw. liefert entweder das Ergebnis oder mit den dazugehörigen Eigenzuständen und bzw. und . Auf werden nunmehr ein separabler und ein verschränkter Zustand wie folgt definiert:

1. Separabel: . Die reduzierten Zustände lauten . Messungen an einem einzelnen Teilsystem sind also vollkommen unbestimmt, d.h. . Für die Korrelationen gilt und . Die Observable weist also perfekte Korrelationen auf (in beiden Systemen stets dasselbe Ergebnis oder ), während vollständig unkorreliert ist (Ergebnis in einem System hängt nicht vom anderen ab).
2. Verschränkt: . Die reduzierten Zustände sind die gleichen wie in Beispiel a). Für die Korrelationen ergibt sich und , d.h. in beiden Fällen perfekte Korrelation!