Geometrische Definition der Hyperbelfunktionen

In Analogie zur Definition der trigonometrischen Funktionen mit Hilfe der Kreissektorfläche (s. (3.3), (3.4), (3.5)) wird anstelle der Sektorfläche des Kreises mit der Gleichung x²+y²=1 die entsprechende Sektorfläche der Hyperbel mit der Gleichung x²-y²=1 (rechte Abbildung) betrachtet.

Mit der Bezeichnung x für diese Fläche COK (schattiert gezeichnet), lauten die Definitionsgleichungen der Hyperbelfunktionen:

Berechnung der Fläche x durch Integration und Ausdrücken des Ergebnisses mit und liefert

so daß die Hyperbelfunktionen nunmehr mit Hilfe von Exponentialfunktionen darstellbar sind:

Das sind die Definitionsgleichungen der Hyperbelfunktionen. Die Bezeichnung Hyperbelfunktionen ist offenkundig.