Krümmung von Kurven auf einer Fläche

Wenn durch einen Flächenpunkt P verschiedene Kurven auf dieser Fläche gezogen werden, dann stehen ihre Krümmungskreisradien im Punkt P in den folgenden drei Beziehungen zueinander (s. die folgenden Abbildungen):

1. Krümmungskreisradius:

Der Krümmungskreisradius einer Kurve im Punkt P ist gleich dem Krümmungskreisradius einer Kurve C, die sich als Schnitt der Fläche mit der Schmiegungsebene der Kurve im Punkt N ergibt (linke Abbildung).

2. Satz von Meusnier:

Für jeden ebenen Schnitt C durch eine Fläche (rechte Abbildung) berechnet man den Krümmungskreisradius gemäß

Dabei ist R der Krümmungskreisradius des Normalschnittes der durch die gleiche Tangente NQ geht wie C sowie durch den Einheitsvektor der Flächennormalen; ist der Winkel zwischen dem Einheitsvektor der Hauptnormalen der Kurve C und dem Einheitsvektor der Flächennormalen. Das Vorzeichen von in (3.581) ist positiv, wenn auf der konkaven Seite der Kurve liegt und negativ im umgekehrten Falle.

3. Eulersche Formel:

Die Krümmung eines jeden Normalschnittes kann mit der Formel von EULER

berechnet werden, wobei R₁ und R₂ die Hauptkrümmungskreisradien sind, und ist der Winkel zwischen den Ebenen der Schnitte C und C₁ (untere Abbildung).