In der Differentialgeometrie werden ebene und räumliche Kurven und Flächen mit den Methoden der Differentialrechnung untersucht. Daher wird von den Funktionen, die in die Kurven- bzw. Flächengleichungen eingehen, vorausgesetzt, daß sie stetig sind und stetige Ableitungen bis zu der Ordnung besitzen, die gemäß dem Charakter des zu untersuchenden Problems erforderlich ist. Nur in einzelnen Punkten der Kurve oder Fläche darf diese Bedingung gestört sein. Man spricht dann von singulären Punkten.
Bei der Untersuchung geometrischer Gebilde auf der Grundlage ihrer Gleichungen wird zwischen solchen Eigenschaften unterschieden, die von der Wahl des Koordinatensystems abhängen, wie Schnittpunkte von Kurven oder Flächen mit den Koordinatenachsen, Tangentensteigungen, Maxima und Minima, und solchen invarianten Eigenschaften, die unabhängig sind von Koordinatentransformationen, wie Wendepunkte, Scheitel, Krümmungen. Außerdem werden noch lokale Eigenschaften, die nur für sehr kleine Teile der Kurven oder Flächen zutreffen, wie Krümmung und Linienelement von Flächen, von Eigenschaften unterschieden, die Kurven und Flächen im Ganzen betreffen, wie die Anzahl der Scheitel oder die Länge einer geschlossenen Kurve.