Cramersche Regel

In dem wichtigen Spezialfall, in dem die Anzahl der Unbekannten mit der Anzahl der Gleichungen des Systems

übereinstimmt und die Koeffizientendeterminante nicht verschwindet, d.h.

kann die Lösung des inhomogenen Gleichungssystems (4.114a) explizit und eindeutig angegeben werden:

Mit wird die Determinante bezeichnet, die aus dadurch entsteht, daß die Elemente der -ten Spalte von durch die Absolutglieder ersetzt werden, z.B.

Ist und sind nicht alle dann ist das System (4.114a) unlösbar. Im Falle und für alle d.h. und alle sind gleich Null, ist es möglich, daß eine Lösung existiert. Diese ist aber nicht eindeutig (s. Hinweis).

Beispiel

Das System hat die eindeutige Lösung

Hinweis: Für die praktische Lösung von linearen Gleichungssystemen höherer Dimensionen ist die CRAMERsche Regel nicht geeignet. Der Rechenaufwand übersteigt mit wachsender Dimension sehr schnell alle Vorstellungen. Deshalb verwendet man zur numerischen Lösung linearer Gleichungssysteme den GAUSSschen Algorithmus bzw. das Austauschverfahren oder iterative Methoden.