Charakteristisches Polynom

Die Eigenwertgleichung (4.124) stellt ein homogenes lineares Gleichungssystem dar, das genau dann nichttriviale Lösungen besitzt, wenn gilt

Durch Entwicklung von ergibt sich

= (4.125b)

Die Eigenwertbedingung entspricht somit einer Polynomgleichung. Sie wird charakteristische Gleichung genannt; das Polynom heißt charakteristisches Polynom. Seine Nullstellen sind die Eigenwerte der Matrix . Damit gilt für eine beliebige quadratische Matrix vom Typ (n,n):

1. Fall:

Die Matrix besitzt genau n Eigenwerte denn ein Polynom vom Grade n hat n Nullstellen, wenn diese entsprechend ihrer Vielfachheit gezählt werden. Die Eigenwerte von nichtsymmetrischen Matrizen können komplex sein.

2. Fall:

Sind die n Eigenwerte der Matrix sämtlich verschieden, dann existieren genau n linear unabhängige Eigenvektoren als Lösungen des Gleichungssystems (4.124) mit

3. Fall:

Ist ein n_i-facher Eigenwert und hat die Matrix den Rang dann ist die Zahl der linear unabhängigen Eigenvektoren, die zu gehören, gleich dem sogenannten Rangabfall Es gilt d.h., zu einer reellen oder komplexen quadratischen Matrix gibt es mindestens einen und höchstens n reelle oder komplexe linear unabhängige Eigenvektoren.

Beispiel A

Die Eigenwerte sind
Die Eigenvektoren werden aus den zugehörigen homogenen linearen Gleichungssystemen bestimmt.

Man erhält z.B. nach dem Austauschverfahren x₁ beliebig, Man wählt x₁ = 10 und erhält den Eigenvektor wobei C₁ eine beliebige Konstante ist.

Das zugehörige homogene System ergibt x₃ beliebig, Man wählt x₃ = 1 und erhält den Eigenvektor wobei C₂ eine beliebige Konstante ist.

Das zugehörige homogene System ergibt x₂ beliebig, Man wählt x₂ = 3 und erhält den Eigenvektor wobei C₃ eine beliebige Konstante ist.

Beispiel B

Die Eigenwerte sind

Man erhält x₃ beliebig, und wählt z.B. Damit lautet der erste Eigenvektor wobei C₁ eine beliebige Konstante ist.

 Man erhält x₂, x₃ beliebig, x₁ = -x₃. Zwei linear unabhängige Eigenvektoren ergeben sich z.B. für und wobei C₂, C₃ beliebige Konstanten sind.