Reelle positiv definite quadratische Form, Eigenschaften

1. In einer reellen positiv definiten quadratischen Form Q sind alle Hauptdiagonalelemente der zugehörigen reellen symmetrischen Matrix positiv, d.h., es ist

   Für die positive Definitheit stellt diese Gleichung eine notwendige Bedingung dar.

2. Eine reelle quadratische Form Q ist genau dann positiv definit, wenn sämtliche Eigenwerte der zugehörigen Matrix positiv sind.
3. Eine reelle quadratische Form deren zugehörige Matrix den Rang r hat, kann durch die lineare Transformation

   in eine Summe rein quadratischer Glieder, die sogenannte Normalform

   und beliebig vorgegebenen positiven Werten überführt werden.

Hinweis: Unabhängig davon, wie eine reelle quadratische Form (4.132) vom Rang r durch eine reelle nichtsinguläre Transformation (4.134) in die Normalform (4.135) überführt wird, bleibt neben der Rangzahl r auch die Anzahl p der positiven und damit auch die Anzahl q=r-p der negativen Koeffizienten k_i der Normalform unverändert (Trägheitsgesetz von SYLVESTER). Die Zahl p heißt Trägheitsindex der quadratischen Form.