Singulärwerte und Singulärvektoren

Wenn eine reelle Matrix vom Typ (m,n) mit dem Rang r ist, dann heißen die positiven Wurzeln aus den Eigenwerten der Matrix Singulärwerte der Matrix A. Die zugehörigen Eigenvektoren von heißen Rechtssingulärvektoren von A, die zugehörigen Eigenvektoren von Linkssingulärvektoren. Dabei besitzt die Matrix dieselben r von Null verschiedenen Eigenwerte wie die Matrix

Außerdem besteht zwischen den Rechts- und Linkssingulärvektoren der Zusammenhang

Es gilt: Eine Matrix vom Typ (m,n) mit dem Rang r besitzt r positive Singulärwerte Dazu existieren r orthonormierte Rechtssingulärvektoren und r orthonormierte Linkssingulärvektoren Darüber hinaus existieren zum Singulärwert Null n - r orthonormierte Rechtssingulärvektoren und m-r orthonormierte Linkssingulärvektoren Eine Matrix vom Typ (m,n) hat demzufolge n Rechtssingulärvektoren und m Linkssingulärvektoren, die man zu den orthogonalen Matrizen

zusammenfassen kann.