Anwendungen für Schieberegister

Das Rechnen mit Polynomen kann sehr gut mit linear rückgekoppelten Schieberegistern durchgeführt werden (s. die folgende Abbildung).

Für ein linear rückgekoppeltes Schieberegister mit Rückkopplungspolynom erhält man aus dem Zustandspolynom im Folgetakt das Zustandspolynom (mod f(x)).
Insbesondere entsteht aus s(x) =1 nach i Takten das Zustandspolynom xⁱ (mod f(x)).

Beispiel

Demonstration am Beispiel des Körpers GF(2³): Das primitive Polynom wird als Rückkopplungspolynom gewählt. Dann ergibt sich ein Schieberegister der Länge 3 mit folgender Zustandsfolge:

Mit dem Anfangszustand:
ergeben sich die Folgezustände:

Die Zustände sind als Koeffizientenvektoren eines Zustandspolynoms s₀ +s₁x +s₂x² aufzufassen.

Allgemein gilt: Ein linear rückgekoppeltes Schieberegister der Länge r liefert genau dann eine Zustandsfolge maximaler Periodenlänge 2^r -1, wenn das Rückkopplungspolynom ein primitives Polynom vom Grad r ist.