Definition des Vektorraumes

Ein Vektorraum über einem Körper K (K-Vektorraum) besteht aus einer additiv geschriebenen ABELschen Gruppe V=(V,+) von Vektoren , einem Körper von Skalaren und einer äußeren Multiplikation die jedem geordneten Paar (k,v) mit und einen Vektor zuordnet. Dabei gelten folgende Gesetze:

Ist , so spricht man von einem reellen Vektorraum .

Beispiel A

Einspaltige bzw. einzeilige reelle Matrizen vom Typ (n,1) bzw. (1,n) bilden bezüglich der Matrizenaddition und der äußeren Multiplikation mit einer reellen Zahl einen reellen Vektorraum (s. Vektorraum der Spalten- bzw. Zeilenvektoren).

Beispiel B

Alle reellen Matrizen vom Typ (m,n) bilden einen reellen Vektorraum.

Beispiel C

Alle auf einem Intervall [a,b] stetigen reellen Funktionen bilden mit den durch

definierten Operationen einen reellen Vektorraum. Funktionenräume spielen in der Funktionalanalysis eine wesentliche Rolle.