Primzahlzwillinge, Primzahldrillinge, Primzahlvierlinge

1. Primzahlzwillinge:
Zwei Primzahlen mit dem Abstand 2 bilden einen Primzahlzwilling.
Beispiel

(3,5), (5,7), (11,13), (17,19), (29,31), (41,43), (59,61), (71,73), (101,103) sind Primzahlzwillinge.
2. Primzahldrillinge:
Man spricht von Primzahldrillingen, wenn unter vier aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen drei Primzahlen sind.
Beispiel

(5,7,11), (7,11,13), (11,13,17), (13,17,19), (17,19,23), (37,41,43) sind Primzahldrillinge.
3. Primzahlvierlinge:
Bilden von fünf aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen die ersten beiden und die letzten beiden jeweils einen Primzahlzwilling, dann spricht man von Primzahlvierlingen.
Beispiel

(5,7,11,13), (11,13,17,19), (101,103,107,109), (191,193,197,199) sind Primzahlvierlinge.

Eine bis heute unbewiesene Vermutung ist, daß unendlich viele Primzahlzwillinge, unendlich viele Primzahldrillinge und unendlich viele Primzahlvierlinge existieren.

4. Mersennesche Primzahlen
Ist eine Zahl 2k-1 mit eine Primzahl, dann ist auch k eine Primzahl. Man nennt die Zahlen (p Primzahl) MERSENNEsche Zahlen. Von einer MERSENNEschen Primzahl spricht man, wenn 2p-1 eine Primzahl ist.
Beispiel

Für die folgenden ersten 10 Werte von p ist 2p-1 eine Primzahl: 2, 3, 5, 13,17, 19, 31, 61, 89, 107, usw.
5. Fermatsche Primzahlen
Ist eine Zahl 2k+1 mit eine ungerade Primzahl, dann ist k eine Potenz von . Die Zahlen 2k+1 mit heißen FERMATsche Zahlen. Ist eine FERMATsche Zahl eine Primzahl, dann spricht man von einer FERMATschen Primzahl.
Beispiel

Für k=0,1,2,3,4 sind die zugehörigen FERMATschen Primzahlen: . Man vermutet, daß es keine weiteren FERMATschen Primzahlen gibt.
6. Fundamentalsatz der elementaren Zahlentheorie
Jede natürliche Zahl n > 1 kann man als Produkt von Primzahlen darstellen. Diese Darstellung ist eindeutig bis auf die Reihenfolge der Faktoren. Man sagt, daß n genau eine Primfaktorenzerlegung besitzt.
Beispiel

Hinweis: Analog kann man ganze Zahlen (außer -1, 0, 1) eindeutig bis auf Vorzeichen und Reihenfolge der Faktoren als Produkt von Primelementen darstellen.

7. Kanonische Primfaktorenzerlegung
Es ist üblich, in der Primfaktorenzerlegung einer natürlichen Zahl die Primfaktoren der Größe nach zu ordnen und gleiche Faktoren zu Potenzen zusammenzufassen. Ordnet man jeder nicht vorkommenden Primzahl den Exponenten 0 zu, dann gilt: Jede natürliche Zahl ist eindeutig durch die Folge der Exponenten in ihrer Primfaktorenzerlegung bestimmt.
Beispiel

Zu gehört die Exponentenfolge

Für eine natürliche Zahl n seien die paarweise verschiedenen n teilenden Primzahlen, und bezeichne den Exponenten der Primzahl pk in der Primfaktorenzerlegung von . Dann schreibt man

(5.249a)

und nennt diese Darstellung die kanonische Primfaktorenzerlegung von Oft schreibt man dafür auch

(5.249b)

wobei das Produkt über alle Primzahlen p zu bilden ist und die Vielfachheit von p als Teiler von n bedeutet. Es handelt sich um ein endliches Produkt, da nur endlich viele der Exponenten von 0 verschieden sind.

8. Positive Teiler
Wenn eine natürliche Zahl mit der kanonischen Primfaktorenzerlegung (5.249a) gegeben ist, dann läßt sich jeder positive Teiler t von n in der Form
(5.250a)

darstellen. Die Anzahl aller positiven Teiler von n ist

(5.250b)
Beispiel A

.
Beispiel B

falls paarweise verschiedene Primzahlen sind.

Das Produkt P(n) aller positiven Teiler von n ist gegeben durch

(5.250c)
Beispiel A

P(20)=203=8000.
Beispiel B

P(p3)=p6, falls p Primzahl ist.
Beispiel C

, falls p und q zwei verschiedene Primzahlen sind.

Die Summe aller positiven Teiler von n ist

(5.250d)
Beispiel A

.
Beispiel B

, falls p Primzahl ist.