Glockenförmige Zugehörigkeitsfunktionen

In Analogie zu den trapezförmigen Zugehörigkeitsfunktionen, die sich durch einen diskontinuierlichen Verlauf auszeichnen, finden auch glockenförmige Zugehörigkeitsfunktionen mit kontinuierlichem Kurvenverlauf Anwendung.

Resümee: Als Resümee der zu betrachtenden Beispiele ergibt sich, daß unscharfe und unpräzise Informationen durch Fuzzy-Mengen beschrieben und durch Zugehörigkeitsfunktionen visualisiert werden können. Sprachliche Aussagen wie WENN-DANN-Regeln werden dann zu Berechnungsverfahren.

Beispiel A

Eine Klasse glockenförmiger, differenzierbarer Zugehörigkeitsfunktionen erhält man mit Hilfe von Funktionen f(x) der Art

wenn p(x) geeignet wählt wird.
Für p(x)=k(x-a)(b-x) und z.B. k=10 bzw. k=1 oder k=0,1 erhält man mit dem Normierungsfaktor die in der folgenden Abbildung dargestellten Zugehörigkeitsfunktionen unterschiedlicher Breite einer symmetrischen Kurvenschar. Mit dem Wert k=10 ergibt sich die äußere, mit k=0,1 die innere Kurve.

Asymmetrische Zugehörigkeitsfunktionen in [0,1], wie sie die folgende Abbildung zeigt, erhält man beispielsweise für p(x)=x(1-x)(2-x) oder p(x)=x(1-x)(x+1) mit geeigneten Normierungsfaktoren. Der Faktor (2-x) im ersten Polynom bewirkt eine Verschiebung des Maximums nach links und liefert eine asymmetrische Kurvenform. Entsprechend bewirkt der Faktor (x+1) im zweiten Polynom eine Verschiebung nach rechts mit asymmetrischer Form.

Beispiel B

Beispiele für eine noch flexiblere Klasse von Zugehörigkeitsfunktionen erhält man durch eine Transformation t in [a,b] gemäß

wobei für f die bereits bei den glockenförmigen Zugehörigkeitsfunktionen benutzte Funktion (5.358), d.h.

(5.358) mit p(x) =(x-a)(b-x) verwendet werden kann. Ist t eine glatte Transformation in [a,b], d.h. ist t unendlich differenzierbar im Intervall , so ist auch F_t glatt, weil f glatt ist. Verlangt man, daß t steigend oder fallend und glatt ist, dann liefert die Transformation t Möglichkeiten, die Kurvenform einer Zugehörigkeitsfunktion zu verändern.
In der Praxis sind Polynome für die Transformation gut geeignet. Im Intervall [a,b]=[0,1] ist das einfachste Polynom die Identität .

Das nächst einfache Polynom mit den angegebenen Eigenschaften ist mit einer Konstanten . Mit der Wahl c=-6 für maximale Krümmung des Polynoms ergibt sich . Wählt man für q₀ die Identitätsfunktion, d.h. so kann man zusammen mit q rekursiv durch für weitere Polynome berechnen.

Setzt man für die Transformation t in F_t(x) (5.359) die entsprechenden Transformationspolynome ein, so erhält man eine Folge glatter Funktionen F_q0,F_q1 und F_q2 (linke Abbildung), die zur Konstruktion von Zugehörigkeitsfunktionen verwendet werden können, wobei F_qn zu einer Geraden konvergiert. Mit Hilfe der Funktion F_q2 sowie ihrer gespiegelten Form und einer waagerechten Geraden kann eine trapezförmige Zugehörigkeitsfunktion differenzierbar approximiert werden (rechte Abbildung).