Durchschnitt und Vereinigung zweier Fuzzy-Mengen

1. Durchschnitt oder Schnittmenge:

Die Schnittmenge (intersection ) zweier Fuzzy-Mengen A und B ist definiert durch die Minimumoperation min( . , . ) bezüglich ihrer Zugehörigkeitsfunktionen und Auf Grund der vorstehenden Überlegungen erhält man:

wobei gilt:

Der Schnittoperation entspricht die UND-Operation zweier Zugehörigkeitsfunktionen (s. linke Abbildung). Die Zugehörigkeitsfunktion definiert den minimalen Wert, gebildet aus und

2. Vereinigung zweier Fuzzy-Mengen:

Die Vereinigung (union ) zweier Fuzzy-Mengen ist definiert durch die Maximumoperation max(.,.) bezüglich ihrer Zugehörigkeitsfunktionen und Man erhält:

wobei gilt:

Die Vereinigung enstpricht der logischen ODER-Verknüpfung (rechte Abbildung). Die Darstellung zeigt als den maximalen Wert der jeweiligen Zugehörigkeitsfunktionen und .

Beispiel

Die t-Norm wird als Durchschnitt bezeichnet (linke Abbildung) und die s-Norm als Vereinigung (rechte Abbildung).

3. Weitere Verknüpfungen:

Weitere Verknüpfungen zur Vereinigungsbildung sind die beschränkte, die algebraische und die drastische Summe sowie die beschränkte Differenz, das algebraische und das drastische Produkt. Im nächsten Abschnitt Tabelle der t- und s-Normen sind diese Verknüpfungen zusammengestellt.
Die algebraische Summe z.B. ist definiert durch

Wie die Vereinigung (5.376a,b) gehören die genannten Summen zu den s-Normen. Sie sind in vereinfachter Schreibweise in der rechten Spalte der Tabelle der t- und s-Normen zu finden.
In Analogie zum erweiterten Summenbegriff für die Vereinigungsbildung ergeben sich für die Durchschnittsbildung mit Hilfe des beschränkten, des algebraischen und des drastischen Produktes entsprechende Erweiterungen. So ist z.B. das algebraische Produkt wie folgt definiert:

Es gehört wie die Durchschnittsbildung (5.375a,b) zu den t-Normen, die in der mittleren Spalte von Tabelle der t- und s-Normen zu finden sind.