Modellierung fuzzy-wertiger Relationen

Unscharfe oder fuzzy-wertige Relationen wie beispielsweise ungefähr gleich , im wesentlichen grösser oder im wesentlichen kleiner  etc. spielen für die praktischen Anwendungen eine große Rolle. Sie werden als Relationen zwischen Zahlen und demzufolge als Teilmengen im erklärt. So läßt sich Gleichheit =  als Menge

erklären, d.h. durch eine Gerade y=x im .
Zur Modellierung der Relation R₁ ungefähr gleich  kann angrenzend an ein scharfes Gebiet (hier beschrieben durch die Gerade im , allgemein im , mit der Toleranz ) eine unscharfe Übergangszone zugelassen und verlangt werden, daß die Zugehörigkeitsfunktion in einer gewünschten Art (linear oder quadratisch) mit abnehmender Zugehörigkeit gegen Null geht. Eine lineare Abnahme kann wie folgt modelliert werden:

Zur Modellierung der Relation R₂ im wesentlichen größer als   ist es zweckmäßig, von der scharfen Relation   auszugehen. Die zugehörige Wertemenge ist dann gegeben durch

Sie beschreibt das scharfe Gebiet oberhalb der Geraden . Die Modellierung im wesentlichen   bedeutet, daß geringe Unterschreitungen in ein Randgebiet unterhalb der Halbebene, gekennzeichnet durch die Gerade, noch akzeptiert werden. Die Modellierung von R₂ ergibt sich dann zu

Setzt man für eine der Variablen einen festen Wert ein, z.B.  dann folgt aus dieser modellmäßigen Beschreibung unmittelbar, daß R₂ als unscharfe Schranke bezüglich der anderen Variablen interpretiert werden kann. Unscharfe Schranken besitzen im Bereich der unscharfen mathematischen Optimierung, der qualitativen Datenanalyse und der Musterklassifikation praktische Bedeutung.
Die vorstehende Betrachtung zeigt, daß das Konzept der unscharfen Relationen, d.h. der unscharfen Beziehungen zwischen mehreren Objekten, mit Hilfe unscharfer Mengen aufgebaut werden kann. Im folgenden werden Grundtatsachen zweistelliger Relationen über einem Grundbereich behandelt, dessen Elemente geordnete Paare sind.