Einschränkung für den eindimensionalen Fall

Bei Fuzzy-Systemen mit nur einer Eingabe werden oft Fuzzy-Mengen verwendet, die durch Dreieckfunktionen dargestellt, die sich auf der Höhe 0,5 schneiden werden. Solche Fuzzy-Mengen genügen drei Bedigungen:

1. Für jede Regel gibt es eine Eingabe x_i, für die nur eine Regel erfüllt ist. Für diese Eingabe x_i wird die Ausgabe über f_i berechnet. Dadurch ist die Ausgabe des Fuzzy-Systems an N Stützstellen festgelegt. Man kann daher sagen, das Fuzzy-System interpoliert die Stützstellen . Die Forderung, daß an den Stützstellen x_i nur die eine Regel gilt, ist für eine exakte Interpolation hinreichend, aber nicht notwendig. Für zwei Regeln und , wie sie im folgenden betrachtet werden, bedeutet diese Forderung, daß gilt. Zur Erfüllung der 1. Bedingung muß sein. Das ist eine hinreichende Bedingung für eine exakte Interpolation der Stützstellen.
2. Zwischen zwei aufeinanderfolgenden Stützstellen sind höchstens 2 Regeln erfüllt. Sind x₁ und x₂ zwei solche Stützstellen mit den Regeln und so berechnet sich für Eingaben die Ausgabe y zu

   mit von x abhängigen und sowie
   Der eigentliche Verlauf der Interpolationskurve zwischen x₁ und x₂ wird von der Funktion g bestimmt. Diese wird daher als Kurvenverlauf bezeichnet. Sie hängt nur von den Erfüllungsgraden und ab, die sich als Werte der Zugehörigkeitsfunktionen und an der Stelle x ergeben, d.h., es ist und oder kurz und Der Kurvenverlauf hängt nur vom Verhältnis der Zugehörigkeitsfunktionen ab.

3. Die Zugehörigkeitsfunktionen sind positiv, so daß die Ausgabe y eine Konvexkombination der Konklusionen f_i ist. Daher gilt:

   bzw. für den allgemeinen Fall

   Für konstante Konklusionen bewirken die Terme f₁ und f₂ lediglich eine Verschiebung und Streckung des Kurvenverlaufes Sind die Konklusionen von den Eingangsvariablen abhängig, dann wird der Kurvenverlauf in verschiedenen Abschnitten unterschiedlich verzerrt. Dadurch kann sich eine andere Ausgangsfunktion ergeben.

Verwendet man für die Eingabe x linear abhängige Konklusionen und Zugehörigkeitsfunktionen mit konstanter Summe, dann ist die Ausgabe mit von x abhängigen und einer Konstanten c, so daß sich Polynome 2. Ordnung als Interpolationsfunktionen ergeben. Diese Polynome kann man zur Konstruktion eines Interpolationsverfahrens mit Polynomen 2. Ordnung verwenden.
Allgemein ergibt sich aus der Wahl von Polynomen n-ter Ordnung als Konklusion ein Interpolationspolynom (n+1)-ter Ordnung. Daher können die konventionellen Interpolationsverfahren, die lokal mit Polynomen interpolieren (beispielsweise mit Splines), auch mit diesen Fuzzy-Systemen durchgeführt werden.