Eigenschaften absolut konvergenter Reihen

1. Vertauschung von Gliedern:
  1. Die Glieder einer absolut konvergenten Reihe können nach Belieben miteinander vertauscht werden: Die Reihensumme ändert sich dadurch nicht.
  2. Wenn die Glieder einer bedingt konvergenten Reihe so umgestellt werden, daß in die Umstellung beliebig viele Glieder einbezogen sind, dann kann dadurch die Reihensumme geändert werden. Der Satz von RIEMANN besagt, daß auf diese Weise jede beliebige vorgegebene Zahl zur Reihensumme gemacht werden kann.
2. Addition und Subtraktion:
Absolut konvergente Reihen können gliedweise addiert oder subtrahiert werden.
3. Multiplikation:
Absolut konvergente Reihen können wie gewöhnliche Polynome miteinander multipliziert werden. Das Ergebnis ist wieder als Reihe darstellbar, z.B.:
(a1 +  
  = (7.35a)
  +  


Wenn die Reihensummen und bekannt sind, dann ergibt sich die Summe der multiplizierten Reihen gemäß
(7.35b)

Wenn zwei Reihen und konvergent sind und wenigstens eine von ihnen absolut konvergiert, dann konvergiert auch die durch Multiplikation aus beiden erhaltene Reihe. Sie ist jedoch nicht notwendig ebenfalls absolut konvergent.