Definition der absoluten und bedingten Konvergenz

Neben der Reihe

(s. Unendliche Reihe und ihre Summe) mit Gliedern, die verschiedene Vorzeichen haben können, wie z.B. in einer alternierenden Reihe, wird auch die Reihe

betrachtet, deren Glieder die Absolutbeträge der Glieder der Reihe (7.32a) sind.
Wenn die Reihe (7.32b) konvergent ist, dann ist es auch die Reihe (7.32a). In diesem Falle spricht man von der absoluten Konvergenz der Reihe (7.32a). Wenn die Reihe (7.32b) divergent ist, dann kann die Reihe (7.32a) entweder auch divergent oder konvergent sein. Im letzten Falle spricht man von der bedingten Konvergenz der Reihe (7.32a).

Beispiel A

Die Reihe

in der eine beliebige konstante Zahl ist, konvergiert absolut, da die Reihe mit dem absoluten Glied konvergiert. Dies zeigt ein Vergleich mit der geometrischen Reihe (7.15):

Beispiel B

Die Reihe

konvergiert bedingt, wie (7.36b) und ein Vergleich mit der divergenten harmonischen Reihe (7.16) zeigen, die das allgemeine Glied hat.