Definition des Kurvenintegrals 1. Art

Kurvenintegral 1. Art oder Integral über eine Bogenlänge wird das bestimmte Integral

genannt, wobei u = f(x,y) eine in einem zusammenhängenden Gebiet definierte Funktion von zwei Veränderlichen ist und die Integration über den Kurvenbogen einer ebenen, durch ihre Gleichung vorgegebenen Kurve durchgeführt wird. Das betreffende Bogenstück liegt in dem gleichen Gebiet und wird Integrationsweg genannt. Der Zahlenwert des Kurvenintegrals 1. Art wird auf die folgende Weise ermittelt (s. Abbildung).

1. Zerlegung des Bogenstückes in n Elemementarbogenstücke durch beliebig gewählte Punkte , beginnend beim Anfangspunkt bis zum Endpunkt .
2. Auswahl beliebiger Punkte P_i im Innern oder auf dem Rande eines jeden Elementarbogenstückes mit den Koordinaten und .
3. Multiplikation der Funktionswerte in den gewählten Punkten mit den positiv zu nehmenden Bogenlängen .
4. Addition aller so gewonnenen n Produkte .
5. Berechnung des Grenzwertes der Summe

   für den Fall, daß die Länge jedes Elementarbogenstückes gegen Null geht, also n gegen .

   

   Wenn der Grenzwert von (8.107a) existiert und unabhängig ist von der Wahl der Punkte A_i und , so wird er Kurvenintegral 1. Art genannt, und man schreibt

   In Analogie dazu wird das Kurvenintegral 1. Art für eine Funktion u = f(x,y,z) von drei Veränderlichen definiert, dessen Integrationsweg das Bogenstück einer Raumkurve ist: