Berechnung des Doppelintegrals in beliebigen krummlinigen Koordinaten

Die Koordinaten sind in Parameterform durch die Beziehungen

definiert. Das Flächenstück wird durch die Koordinatenlinien u = const und v = const in infinitesimale Flächenelemente eingeteilt (s. Abbildung) und der Integrand in den Koordinaten u und v ausgedrückt.

Summiert wird zuerst längs eines Koordinatenstreifens, z.B. längs v = const, danach über alle Streifen:

Dabei sind v = v₁(u) bzw. v = v₂(u) die Gleichungen der inneren bzw. äußeren Randkurve und der Fläche . Mit u₁ und u₂ werden die Koordinaten der beiden äußersten Linienbegrenzungen der Fläche S beschrieben. Mit |D| ist der Absolutbetrag der Funktionaldeterminante

bezeichnet, mit deren Hilfe das Flächenelement in krummlinigen Koordinaten beschrieben wird:

Die Formel (8.137b) ist ein Spezialfall von Formel (8.139) für die Polarkoordinaten . Die Funktionaldeterminate ergibt sich hier zu .
Man wählt die krummlinigen Koordinaten derart, daß die Integrationsgrenzen des Integrals (8.139) möglichst einfach werden.

Beispiel

ist für den Fall zu berechnen, daß S der Flächeninhalt der Astroide ist, mit (s. Abbildung).

Zuerst werden die krummlinigen Koordinaten eingeführt, deren Koordinatenlinien u = c₁ eine Schar ähnlicher Astroiden mit den Gleichungen und darstellen. Die Koordinatenlinien v = c₂ sind dann Strahlen mit der Gleichung , wobei gilt. Damit ergibt sich
,
.