Krummlinige Koordinaten auf einer Fläche

Für eine in der Parameterform (3.563) oder Vektorform bzw. (3.564) gegebene Fläche erhält man durch Variieren des Parameters u bei gleichzeitigem Festhalten von v = v₀ die Punkte einer Kurve auf der Fläche. Werden für v nacheinander verschiedene, aber feste Werte eingesetzt, dann ergibt sich eine Kurvenschar auf der Fläche. Da bei der Bewegung längs einer solchen Kurve mit nur u geändert wird, nennt man diese Kurven die u-Linien.

In Analogie dazu erhält man beim Variieren von v und gleichzeitigem Festhalten von für eine zweite Kurvenschar und spricht von v-Linien. Auf diese Weise kann man auf der Fläche (3.563) ein Netz von Koordinatenlinien entstehen lassen, in dem zwei feste Zahlen u =u_i und v =v_k die krummlinigen oder GAUSSschen Koordinaten des Flächenpunktes P sind.
Wenn eine Fläche in der Form (3.562) gegeben ist, stellen die Koordinatenlinien Schnitte der Fläche mit den Ebenen und dar. Mit Gleichungen der impliziten Form F(u,v) =0 oder mit den Parametergleichungen u =u(t) und v =v(t) zwischen diesen Koordinaten werden Kurven auf der Fläche beschrieben.

Beispiel

Die Parametergleichungen der Kugel (3.566,3.567) ergeben für u die geographische Länge eines Punktes P und v seinen Polabstand, das Komplement zu seiner geographischen Breite. Die v-Linien sind hier die Meridiane die u-Linien die Breitenkreise