Berechnung des Dreifachintegrals in kartesischen Koordinaten

Das Integrationsgebiet, das hier als Volumen V aufgefaßt werden kann, teilt man mit Hilfe von Koordinatenflächen, die in diesem Falle Ebenen sind, in infinitesimale Parallelepipede ein (s. Abbildung).

Dabei ist wie im Falle des Doppelintegrals zu bachten, daß der Durchmesser der Elementarzelle beim Grenzübergang gegen Null geht. Auf die Zerlegung folgt die Summation aller Differentiale , beginnend bei allen Parallelepipeden längs einer vertikalen Säule, d.h. Summation über z, danach aller Säulen längs jeder der vertikalen Schichten, d.h. Summation über y, und schließlich aller Schichten, d.h. Summation über . Die analytische Formulierung lautet:

= (8.143a)

Dabei sind und die Gleichungen der unteren und oberen Oberfläche des Volumens , gerechnet von der Kurve aus; heißt Volumenelement, hier in kartesischen Koordinaten. Mit und sind die Funktionen bezeichnet, die die Projektionen C der Kurvenanteile von auf die x,y-Ebene mit den Begrenzungspunkten x =a und x =b beschreiben.
An das Integrationsgebiet müssen die folgenden Forderungen gestellt werden:

• Die Funktionen und sollen im Intervall existieren, stetig sein und der Ungleichung genügen.
• Die Funktionen und sollen im Gebiet , definiert und stetig sein und der Ungleichung genügen.

Derart sind alle die Punkte (x,y,z) in V enthalten, die den Bedingungen

genügen.

Beispiel

Berechnung des Integrals für eine Pyramide, die von den Koordinatenebenen und der Ebene x+y+z = 1 begrenzt wird:
.