Berechnung des Dreifachintegrals in Zylinderkoordinaten

Das Integrationsgebiet wird mit Hilfe der Koordinatenflächen in infinitesimale Elementarzellen eingeteilt (s. Abbildung).

Das Volumenelement in Zylinderkoordinaten ist

Nach der Darstellung des Integranden in Zylinderkoordinaten lautet das Integral:

Beispiel

Das Integral ist für einen Körper zu berechnen (s. Abbildung), dessen Volumen von der x,y-Ebene, der x,z-Ebene, dem Zylinder x²+y² = ax und der Kugel x²+y²+z² = a² begrenzt wird:
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Wegen ist das Integral gleich dem Rauminhalt des Körpers.