Explizite Darstellung der Fläche

Ist die Fläche S durch die Gleichung

z = z(x,y) (8.150)

explizit vorgegeben, dann gilt

wobei S' die Projektion von S auf die x,y-Ebene ist und p und q die partiellen Ableitungen sind. Dabei wird vorausgesetzt, daß jedem Punkt der Fläche S in der x,y-Ebene eindeutig ein Punkt ihrer Projektion S' entspricht, d.h., der Flächenpunkt muß eindeutig durch seine Koordinaten definiert sein. Sollte das nicht der Fall sein, dann wird das Flächenstück S in einige Teilflächenstücke eingeteilt, so daß das Integral über die gesamte Fläche als algebraische Summe der Integrale über die Teilflächenstücke von S dargestellt werden kann. Ist die Fläche in Parameterform gegeben, dann entfällt diese Einschränkung.
Die Gleichung (8.151a) kann auch in der anderen Form

dargestellt werden. Das hängt damit zusammen, daß die Gleichung der Flächennormalen von (8.150) die Form hat, so daß für den Winkel zwischen der Normalenrichtung und der z-Achse die Beziehung besteht. Bei der Berechnung eines Oberflächenintegrals 1. Art faßt man diesen Winkel als spitzen Winkel auf, so daß immer ist.