Parameterdarstellung der Fläche

Ist die Fläche S durch die Gleichungen

(8.152a)

in Parameterform vorgegeben (s. Abbildung), dann gilt

(8.152b)

wobei die Funktionen E,F und G wie folgt berechnet werden (s. Abschnitt Linienelement auf einer Fläche):


Für das Flächenelement in Parameterform gilt dann

(8.152c)

während der Variabilitätsbereich von u und v ist, der der Fläche S entspricht. Zur Berechnung des Integrals werden der Reihe nach die beiden Integrale für v und u integriert:

(8.152d)

Dabei sind u1 und u2 die Koordinaten der äußersten Koordinatenlinien , zwischen denen das Flächenstück S eingeschlossen ist (s. Abbildung). Mit v = v1(u) und v = v2(u) sind die Gleichungen der Kurven AmB und AnB bezeichnet, die das Flächenstück S begrenzen.
Die Formel (8.151a) ist ein Spezialfall von (8.152b) für

(8.153)

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