Differential des Bogens

Eine Fläche sei in der Parameterform (3.563) oder in der Vektorform bzw. (3.564) gegeben. Auf der Fläche seien P(u,v) ein beliebiger Punkt und N(u + du, v + dv) ein in der Nähe von P liegender zweiter Punkt. Die Länge des Bogens auf der Fläche läßt sich dann angenähert durch das Differential des Bogens oder das Linienelement der Fläche mit der Formel

ds² = Edu² + 2F dudv + G dv² (3.575a)

berechnen, wobei die drei Koeffizienten

E =

G = (3.575b)

für den Punkt P zu bilden sind. Die rechte Seite der ersten Formel (3.575a) wird erste quadratische Fundamentalform der Fläche genannt.

Beispiel A

Für die Kugel gemäß (3.567) ergibt sich:

Beispiel B

Für eine explizit durch z=f(x,y) (3.562) gegebene Fläche ergibt sich: