Unbestimmte elliptische Integrale

Elliptische Integrale sind Integrale der Form

Sie lassen sich in der Regel nicht durch elementare Funktionen ausdrücken; wenn dies trotzdem gelingt, nennt man sie pseudoelliptisch. Ausgangspunkt für die Bezeichnung war das erstmalige Auftreten eines derartigen Integrals bei der Berechnung des Umfanges der Ellipse. Die Umkehrung der elliptischen Integrale sind die elliptischen Funktionen. Integrale der Art (8.20a,b), die nicht elementar integrierbar sind, können durch eine Reihe von Umformungen auf elementare Funktionen und auf Integrale der folgenden drei Typen zurückgeführt werden (s. [21.1], [21.2], [21.6]):

Bezüglich des Parameters n in (8.21c) sind Fallunterscheidungen notwendig (s. [14.1]).

Mit Hilfe der Substitution können die Integrale (8.21a,b,c) auf die LEGENDREsche Form gebracht werden:

Elliptisches Integral 1. Gattung:

Elliptisches Integral 2. Gattung:

Elliptisches Integral 3. Gattung: