Singuläre Punkte einer Differentialgleichung

Singuläre Punkte einer Differentialgleichung sind Punkte, in denen die rechte Seite der Differentialgleichung

y' = f(x,y) (9.18a)

nicht definiert ist. Diese Situation tritt z.B. in Differentialgleichungen der folgenden Formen auf:

Differentialgleichung mit gebrochenlinearem Quotienten auf der rechten Seite

besitzt im Punkt (0,0) einen isolierten singulären Punkt, da die Bedingungen des Existenzsatzes lediglich in jedem beliebig nahe an (0,0) gelegenen Punkt gelten, nicht aber in diesem selbst. Streng genommen sind die genannten Bedingungen in diesem Falle für alle Punkte nicht erfüllt, für die cx + ey = 0 ist. Die Erfüllung der Bedingungen kann dadurch erzwungen werden, daß die Rolle der abhängigen und unabhängigen Variablen vertauscht und die Gleichung

betrachtet wird.
Das Verhalten der Integralkurven in der Nähe des singulären Punktes hängt von den Wurzeln der charakteristischen Gleichung

ab. Dabei können die folgenden Fälle unterschieden werden:

Fall 1:

Wenn die Wurzeln reell sind und gleiches Vorzeichen besitzen, dann ist der singuläre Punkt ein Knotenpunkt. In der Umgebung des singulären Punktes verlaufen alle Integralkurven durch ihn hindurch und verfügen hier, sofern die Wurzeln nicht zusammenfallen, mit Ausnahme einer Integralkurve über eine gemeinsame Tangente. Im Falle einer Doppelwurzel haben entweder alle Integralkurven eine gemeinsame Tangente, oder durch den singulären Punkt verläuft in jeder Richtung eine eindeutige Kurve.

Beispiel A

Für die Differentialgleichung lautet die charakteristische Gleichung . Die Integralkurven gehorchen der Gleichung y = C x² (s. Abbildung).

Die Gerade x = 0 ist in der allgemeinen Lösung ebenfalls enthalten, was aus der Form x² = C₁y hervorgeht.

Beispiel B

Die charakteristische Gleichung für lautet . Integralkurven sind (s. Abbildung).

Der singuläre Punkt ist ein sogenannter Knotenpunkt.

Beispiel C

Die charakteristische Gleichung für lautet . Integralkurven sind y = C x (s. Abbildung).

Der singuläre Punkt ist ein sogenannter Strahlpunkt.

Fall 2:

Wenn die Wurzeln reell sind und verschiedene Vorzeichen besitzen, ist der singuläre Punkt ein Sattelpunkt, durch den zwei Integralkurven verlaufen.

Beispiel D

Die charakteristische Gleichung für lautet . Integralkurven sind x y = C (s. Abbildung).

Für C = 0 gibt es die partikulären Integrale .

Fall 3:

Wenn die Wurzeln konjugiert komplex sind mit , dann ist der singuläre Punkt ein Strudelpunkt, auf den sich die Integralkurven in unendlich vielen Windungen aufwinden.

Beispiel E

Die charakteristische Gleichung für ist . Integralkurven in Polarkoordinaten sind (s. Abbildung).

Fall 4:

Wenn die Wurzeln rein imaginär sind, dann ist der singuläre Punkt ein Wirbelpunkt, der von der Schar geschlossener Integralkurven eingeschlossen wird.

Beispiel F

Die charakteristische Gleichung für ist . Integralkurven sind x²+y²=C (s. Abbildung).

Differentialgleichung mit Quotienten aus zwei beliebigen Funktionen auf der rechten Seite

besitzt singuläre Punkte für Werte der Variablen, für die

P(x,y) = Q(x,y) = 0 (9.19b)

gilt. Wenn P und Q stetige Funktionen sind, die stetige partielle Ableitungen besitzen, dann kann (9.19a) in der Form

dargestellt werden. Dabei sind x₀ und y₀ die Koordinaten des singulären Punktes, und die Werte von P₁(x,y) sowie Q₁(x,y) müssen infinitesimal von höherer Ordnung im Vergleich zum Abstand des Punktes (x,y) vom singulären Punkt (x₀,y₀) sein. Unter diesen Voraussetzungen ist die Art der singulären Punkte der gegebenen Differentialgleichung die gleiche wie für den singulären Punkt der Näherungsgleichung, die durch Weglassen von P₁ und Q₁ entsteht. Dazu gibt es die folgenden Ausnahmen:

1. Wenn der singuläre Punkt ein Wirbelpunkt ist, dann ist der singuläre Punkt der Ausgangsgleichung entweder ein Wirbelpunkt oder ein Strudelpunkt;
2. wenn ae-bc=0, d.h. oder a = c =0 bzw. a = b = 0 ist, dann müssen, damit die Art des singulären Punktes bestimmt werden kann, Glieder höherer Ordnung in die Betrachtung einbezogen werden.