Lösung kubischer Gleichungen, Methode 2, Anwendung der Formel von CARDANO

Durch die Substitution y=u+v geht (1.155b) in

u³+v³+(u+v)(3uv+3p)+2q=0 (1.159a)

über. Diese Gleichung ist sicher dann erfüllt,wenn

gilt. Schreibt man diese Gleichungen in der Form

dann sind von den beiden unbekannten Größen u³ und v³ Summe und Produkt bekannt, so daß sie auf Grund des VIETAschen Wurzelsatzes bzw. wegen (1.151) als Lösungen der quadratischen Gleichung

w²-(u³+v³)w+u³v³=w²+2qw-p³ = 0 (1.159d)

aufgefaßt werden können. Man erhält

so daß sich für die Lösungen y der Gleichung (1.155b) die CARDANOsche Formel

ergibt. Wegen der Dreideutigkeit jeder 3. Wurzel wären neun verschiedene Fälle möglich, die sich wegen uv=-p auf die folgenden drei Lösungen reduzieren:

Beispiel

y³ +6y+2 = 0 mit und

Die reelle Wurzel ist
die komplexen Wurzeln sind