Direkter Beweis

Es wird von einem bereits als richtig bewiesenen Satz (Voraussetzung p) ausgegangen und daraus die Wahrheit des zu beweisenden Satzes (Behauptung q) abgeleitet. Bei der logischen Schlußfolgerung wird vorwiegend die Implikation oder die Äquivalenz verwendet.

a) Direkter Beweis mit Hilfe der Implikation:

In der Implikation folgt aus der Wahrheit der Voraussetzung die Wahrheit der Behauptung (s. 4. Zeile der Wahrheitstafel Implikation ).

Beispiel

Die Ungleichung für ist zu beweisen. Voraussetzung ist die als richtig erkannte binomische Formel Durch Subtraktion von 4ab folgt: und aus dieser Ungleichung erhält man unmittelbar die Behauptung, wenn man sich beim Radizieren wegen a>0 und b>0 auf das positive Vorzeichen beschränkt.

b) Direkter Beweis mit Hilfe der Äquivalenz:

Der Beweis wird durch Verifizieren, d.h. durch den Nachweis der Wahrheit, geführt. Man geht dabei von der Wahrheit der Behauptung q aus und zeigt die Wahrheit der Behauptung p, was allerdings nur bei einer Äquivalenz möglich ist. Praktisch bedeutet dies, daß alle Operationen, die q in p überführen, umkehrbar eindeutig sein müssen.

Beispiel

Die Ungleichung für 0<a<1 ist zu beweisen.
Durch Multiplikation mit 1-a erhält man (wegen 1-a>0 bleibt das Ungleichheitszeichen bestehen (s. (1.105b))):
Wegen 0<aⁿ⁺¹<1 ist die entstandene Ungleichung richtig, und da die durchgeführten Rechenoperationen umkehrbar eindeutig sind, ist auch die Ausgangsungleichung richtig.